Pembahasan soal Matematika SMP Ujian Nasional UN tahun 2016 nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang grafik fungsi kuadrat, sistem persamaan linear, garis dan sudut, serta sifat segitiga. Soal No. 21 tentang Grafik Fungsi Garis Lurus Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah …. A. 2y = x − 1 B. 2y = −x − 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = −x + 1 Garis a melalui titik −1, 0 dan 0, 2. Gradien garis a adalah ma = y/x = 2 − 0/0 − −1 = 2 Garis b tegak lurus garis a. Dua garis yang saling tegak lurus, perkalian gradiennya sama dengan −1. ma × mb = −1 2 × mb = −1 mb = −1/2 Garis b melalui titik −1,0 dengan gradien −1/2 adalah y − y1 = mx − y1 y − 0 = −1/2 x + 1 Masing-masing suku kalikan dengan 2, diperoleh 2y = −x − 1 Jadi, persamaan garis b adalah 2y = −x − 1 B. Soal No 22 tentang Sistem Persamaan Linear Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah …. A. B. C. D. Pembahasan Kita misalkan terlebih dahulu. x mobil y motor Model matematika untuk soal di atas adalah 3x + 5y = … 1 4x + 2y = 2x + y = … 2 Sekarang kita eliminasi 2 persamaan tersebut. 2x + y = ×5 10x + 5y = 3x + 5y = ×1 3x + 5y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 7x = x = Substitusi x = ke persamaan 2. 2x + y = 2× + y = + y = y = Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah 20x + 30y = 20× + 30× = + = Jadi, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah C. Soal No. 23 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar berikut! Besar pelurus sudut KLN adalah …. A. 31° B. 72° C. 85° D. 155° Pembahasan Hati-hati dengan soal di atas, yang ditanyakan bukan sudut KLN, tetapi pelurus sudut KLN, yaitu sudut MLN. Karena kedua sudut saling berpelurus maka jumlah keduanya adalah 180°. ∠KLN + ∠MLN = 180° 3x + 15° + 2x + 10° = 180° 5x + 25° = 180° 5x = 155° x = 31° Dengan demikian, pelurus ∠KLN adalah pelurus ∠KLN = ∠MLN = 2x + 10° = 2×31° + 10° = 62° + 10° = 72° Jadi, pelurus sudut KLM adalah 72° B. Soal No. 24 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar! Besar sudut BAC adalah …. A. 30° B. 40° C. 50° D. 90° Pembahasan Sudut ABC berpelurus dengan sudut CBD sehingga ∠ABC + ∠CBD = 180° ∠ABC + 140° = 180° ∠ABC = 40° Sementara itu, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° y + 10° + 40° + 2y +10° = 180° 3y + 60° = 180° 3y = 120° y = 40° Nah, sekarang masuk ke pertanyaan. ∠BAC = y + 10° = 40° + 10° = 50° Jadi, Besar sudut BAC adalah 50° C. Soal No. 25 tentang Sifat Segitiga Panjang sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r. Pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah …. A. p + q p C. p − q q Pembahasan Syarat terbentuknya segitiga adalah sisi terpanjang harus lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya. Jika panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r p sisi terpanjang maka berlaku q + r > p Bentuk di atas tidak terdapat pada opsi jawaban. Mari kita pindah ruas! q − p > −r Masih tidak ada. Sekarang masing-masing suku dikalikan negatif tanda pertidaksamaan akan berubah −q + p < r p − q < r Nah, ada kan? Jadi, pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah opsi C. Simak Pembahasan Soal Matematika SMP UN 2016 selengkapnya. Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini. Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.
Grafikfungsi di bawah ini mempunyai persamaan. Gambar akhir yang kita tuju tampak seperti di samping ini. Grafik pada gambar contoh soal 4 ini melalui dua titik yaitu (0,4), (1,7), dan (2,13) sehingga permisalan fungsi ekponen yang kita gunakan adalah $ f(x) = b \times a^x + c $. Definisi, bentuk grafik, contoh soal dan pembahasan. Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaGambarlah garis-garis dengan persamaan berikut ini dengan terlebih dahulu menentukan nilai x jika y = 0 dan menentukan nilai y jika x = 0. 2x + y = 6Bentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoBerikut ini kita memiliki 2 x + 9 = 6 karena kita disuruh untuk menggambarkan garis-garis dengan persamaan berikut ini maka kita harus terlebih dahulu menentukan titik potong pada sumbu x dan juga sumbu y pada grafik dengan memasukkan nilai x = 0 dan juga y = 0. Jadi pertama kita akan memasukkan nilai x = 0 terlebih dahulu. Jika kita masukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan 2 dikalikan dengan 0 ditambah sehingga jika 2 dikalikan dengan 0 menjadi 0 maka kita tidak perlu menuliskan nomornya lagi di langsung saja kita Tuliskan y = 6 karena disini diberitahu bahwa x = 0 dan hasil akhir dari nya adalah 6 maka kita dapat menentukan bahwa titik koordinatnya adalah koma 6 selanjutnya kita akan memasukkan nilai y = 0 ke dalam rumus Jadi jika y = 0 kita akan memperoleh 2 x + 0 = 6 dan juga karena nol tidak bernilai apapun maka kita bisa langsung tulis 2 x = 6 sehingga kita dapat memperoleh nilai x yaitu 3 x = 0 dan X = 3 sehingga kita dapat memperoleh nilai titik koordinat yang kedua yaitu 3,0 dimana kita akan menggambarkan garis-garisnya terlihat atau tampak seperti ini dikatakan sebagai sumbu x adalah garis yang horizontal sedangkan garis yang dikatakan sebagai sumbu y adalah garis yang vertikal dan step selanjutnya atau langkah selanjutnya kita akan menandai titik titik koordinat pada grafik Jadi yang pertama adalah titik 0,6 jadi titik 0,6 Tahu semua ada disini yang ditandai dengan titik berwarna merah. Selain itu titik koordinat yang kedua adalah titik 3,0 yang ditandai oleh titik pada sumbu-x ini kita akan gabungkan kedua titik ini dengan satu garis seperti ini maka garis dengan persamaan 2 x + y = 6 akan tampak seperti ini pada grafik sampai jumpa pada soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Berdasarkangambar grafik sistem persamaan dari x + y = 4 dan x + 2y = 6 di atas tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 1). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 4 dan x + 2y = 6 adalah {(3, 1)}. Berikut ini merupakan soal dan pembahasan mengenai gradien dan persamaan garis lurus yang dianjurkan untuk dipelajari oleh siswa tingkat SMP/Sederajat, terutama untuk menguatkan pemahaman konsep dan persiapan ulangan semester. Soal dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut Download PDF, 242 KB. Quote by Charles R. Swindoll Hidup adalah 10% hal yang terjadi pada kita dan 90% bagaimana kita meresponnya. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Gradien garis $PQ$ berdasarkan gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $\dfrac12$ B. $-\dfrac12$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $P$ ke $Q$ Turun - sejauh 3 petak, lalu belok kanan + sejauh 6 petak. Gradien garis $PQ$ adalah $\boxed{m = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Perhatikan gambar garis $l$ berikut. Gradien garis $l$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $\dfrac14$ B. $-\dfrac14$ D. $4$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik yang ditandai dengan noktah hitam lihat gambar di atas Turun - sejauh 1 petak, lalu belok kanan + sejauh $4$ petak. Gradien garis $l$ adalah $\boxed{m_l = – \dfrac{1}{4}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 3 Gradien garis $k$ pada gambar berikut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac23$ C. $\dfrac32$ B. $-\dfrac32$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Garis $k$ memotong sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ berturut-turut di $-3,0$ dan $0,-2$. Karena melalui kedua titik tersebut, maka gradien $k$ dapat ditentukan dengan menggunakan koordinat titiknya. Dari $-3, 0$ bergerak ke $0,-2$ Turun - sejauh $2$ satuan, lalu belok ke kanan + sejauh $3$ satuan. Dengan demikian, gradien garis $k$ adalah $\boxed{m_k = -\dfrac23}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Gradien garis yang tegak lurus terhadap garis $a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac32$ C. $\dfrac23$ B. $-\dfrac23$ D. $\dfrac32$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Bergerak dari titik $A$ ke $B$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kanan + sejauh $6$ petak. Gradien garis $a$ adalah $m_a = – \dfrac{4}{6} = -\dfrac23$ Gradien garis yang tegak lurus dengan garis $a$ adalah $m = -\dfrac{1}{m_a} = \dfrac{3}{2}$ Secara verbal dinegatifkan lalu dibalik Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. Gradien garis $c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ C. $\dfrac12$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Gradien garis $k$ dapat ditentukan karena melalui $2$ titik yang koordinatnya telah diketahui, tidak seperti garis $c$. Bergerak dari titik $0,4$ ke $-2,0$ Turun - sejauh $4$ petak, lalu belok kiri - sejauh $2$ petak. Gradien garis $k$ adalah $m_k = \dfrac{-4}{-2} = 2$ Karena garis $k$ dan $c$ sejajar, maka gradiennya sama. Dengan demikian, gradien garis $c$ adalah $\boxed{m_c = 2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Gradien garis dengan persamaan $5x-4y-20=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac54$ C. $-\dfrac45$ B. $\dfrac45$ D. $-\dfrac54$ Pembahasan Gradien garis $5x-4y-20 = 0$ adalah $m = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{5}{-4} = \dfrac54$ Jadi, gradien garis tersebut adalah $\boxed{m = \dfrac54}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 7 Di antara persamaan garis berikut 1 $2y=8x+20$ 2 $6y=12x+18$ 3 $3y=12x+15$ 4 $3y=-6x+15$ yang grafiknya saling sejajar adalah $\cdots \cdot$ A. $1$ dan $2$ C. $2$ dan $4$ B. $1$ dan $3$ D. $3$ dan $4$ Pembahasan Dalam bentuk $y = mx + c$, $m$ merupakan gradien garisnya. Untuk itu, ubah semua bentuk persamaan garisnya seperti itu. 1 $2y = 8x + 20$ Bagi kedua ruas dengan $2$ sehingga diperoleh $y = 4x + 10$. Gradien garisnya adalah $\color{red} {m_1 = 4}.$ 2 $6y = 12x + 18$ Bagi kedua ruas dengan $6$ sehingga diperoleh $y = 2x + 3$. Gradien garisnya adalah $m_2 = 2.$ 3 $3y = 12x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = 4x + 5$. Gradien garisnya adalah $\color{red}{m_3 = 4}.$ 4 $3y = -6x + 15$ Bagi kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $y = -2x + 5$. Gradien garisnya adalah $m_4 = -2.$ Dua garis saling sejajar apabila gradiennya sama. Dengan demikian, garis yang saling sejajar adalah $2y = 8x +20$ dan $3y = 12x + 15$ nomor 1 dan 3. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Garis $h$ melalui titik $A-2,3$ dan $B2,p$ serta memiliki nilai kemiringan $\dfrac12$. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5$ C. $-1$ B. $1$ D. $-5$ Pembahasan Berdasarkan konsep gradien, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{y_B -y_A} {x_B -x_A} & = m \\ \dfrac{p -3}{2 -2} & = \dfrac12 \\ \dfrac{p-3}{\cancel{4}} & = \dfrac{2}{\cancel{4}} \\ p -3 & = 2 \\ p & = 5 \end{aligned}$ Jadi, nilai $p$ adalah $\boxed{5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y-4=0$ B. $2x-y+4=0$ C. $2x+y+4=0$ D. $x-y-4=0$ Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan bergradien $m$ adalah $y -y_1 = mx -x_1$ Untuk itu, persamaan garis yang melalui titik $-3, -2$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -2 & = 2x -3 \\ y + 2 & = 2x + 6 \\ y – 2x + 2 -6 & = 0 \\ y -2x -4 & = 0 \\ \text{Kalikan kedua ruas} ~&\text{dengan}~-1 \\ 2x -y + 4 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $R-3,-2$ dengan gradien $2$ adalah $\boxed{2x -y + 4 = 0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 10 Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y+4x+2=0$ B. $3y-4x-2=0$ C. $4y-3x-26=0$ D. $4y-3x+26=0$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4y -3x = -4$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{-3}{4} = \dfrac34$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = \dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan bergradien $\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -5 & = \dfrac34x -2 \\ 4y+5 & = 3x-2 \\ 4y + 20 & = 3x -6 \\ 4y- 3x + 26 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $4y -3x = c$. Substitusikan $x = 2$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} 4-5 -32 & = c \\ -20 -6 & = c \\ c & = -26 \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $4y-3x=-26$ atau ditulis menjadi $4y -3x + 26 = 0$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -5$ dan sejajar dengan garis $4y-3x=-4$ adalah $\boxed{4y-3x+26=0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2y-3x=-23$ B. $2y+3x=-6$ C. $3y-2x=2$ D. $3y+2x=-7$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $y = -\dfrac23x + 6$ adalah $m_1 = = -\dfrac23$ Karena sejajar, maka gradien garis $m = m_1 = -\dfrac23$. Persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan bergradien $-\dfrac23$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -5 & = -\dfrac23x -4 \\ 3y+5 & = -2x-4 \\ 3y + 15 & = -2x + 8 \\ 3y + 2x = & = -7 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang sejajar berbentuk $y = -\dfrac23x + c$. Substitusikan $x = 4$ dan $y =-5$. $\begin{aligned} -5 & = -\dfrac234 + c \\ -5 & = -\dfrac83 + c \\ c & = -5 + \dfrac83 = -\dfrac{7}{3} \end{aligned}$ Dengan demikian, persamaan garisnya berbentuk $y = -\dfrac23x -\dfrac73$. Kalikan kedua ruas dengan $3$ sehingga diperoleh $3y = -2x -7 \Leftrightarrow 3y + 2x = -7.$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $4, -5$ dan sejajar dengan garis $y=-\dfrac23x+6$ adalah $\boxed{3y+2x=-7}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y=34$ B. $3x+4y=-22$ C. $4x+3y=-13$ D. $4x-3y=21$ Pembahasan Cara 1 Gradien garis $4x-3y+8=0$ adalah $m_1 = -\dfrac{\text{Koef.}~x} {\text{Koef.}~y} = -\dfrac{4}{-3} = \dfrac43$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = -\dfrac34$. Persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan bergradien $-\dfrac34$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – -7 & = -\dfrac34x -2 \\ 4y+7 & = -3x-2 \\ 4y + 28 & = -3x + 6 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x – 3y + 8 = 0$ adalah $\begin{aligned} -3x -4y & = -32 -4-7 \\ -3x -4y & = 22 \\ 3x + 4y & = -22 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $2, -7$ dan tegak lurus garis $4x-3y+8=0$ adalah $\boxed{3x + 4y = -22}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 13 Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y=2x+5$ B. $y=-2x+5$ C. $y=2x-5$ D. $y=\dfrac12x-5$ Pembahasan Cara 1 Persamaan $2y = -x +1$ bila kedua ruasnya dibagi 2 menjadi $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ Gradien garis $y = -\dfrac12x + \dfrac12$ adalah $m_1 = -\dfrac12$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $m = -\dfrac{1}{m_1} = 2$. Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan bergradien $2$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -1 & = 2x -2 \\ y – 1 & = 2x + 4 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Cara 2 Persamaan garis yang melalui titik $a, b$ dan tegak lurus garis $Ax + By = c$ adalah $Bx -Ay = Ba -Ab$. Dengan demikian, persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis $x + 2y= 1$ adalah $\begin{aligned} 2x -y & = 2-2 -11 \\ 2x -y & = -5 \\ -y & = -2x -5 \\ y & = 2x + 5 \end{aligned}$ Jadi, Persamaan garis yang melalui titik $-2, 1$ dan tegak lurus garis yang persamaannya $2y=-x+1$ adalah $\boxed{y = 2x + 5}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $7y=2x-11$ B. $7y=2x+11$ C. $2y=7x-11$ D. $2y=7x+11$ Pembahasan Cara 1 Normal Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1$ dan $x_2, y_2$ adalah $\dfrac{y -y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x – x_1}{x_2-x_1}$ Persamaan garis yang melalui titik $5, 3$ dan $-2, 1$ adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -1}{3 -1} & = \dfrac{x – -2}{5 -2} \\ \dfrac{y-1}{2} & = \dfrac{x+2}{7} \\ 7y-1 & = 2x+2 \\ 7y-7 & = 2x+4 \\ 7y & = 2x + 11 \end{aligned}$ Cara 2 Kece Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Baca Juga Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Soal Nomor 15 Sisi persegi $ABCD$ sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Titik $A1,-2$ dan $C5,1$ adalah titik sudut yang saling berhadapan. Persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+4y+7=0$ B. $3x+4y-7=0$ C. $3x-4y+7=0$ D. $4x-3y+7=0$ Pembahasan Posisikan titik $A1,-2$ dan $C5,1$ dalam sistem koordinat Kartesius. Agar $ABCD$ membentuk sebuah persegi panjang, titik $B$ dan $D$ mesti berkoordinat $5, -2$ dan $1, 1$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & =\dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{1-2} & = \dfrac{x-5}{1-5} \\ \dfrac{y+2}{3} & = \dfrac{x-5}{-4} \\ -4y+2 & = 3x-5 \\ -4y-8 & = 3x-15 \\ 3x+4y-7 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang melalui titik $B$ dan $D$ adalah $\boxed{3x+4y-7=0}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 16 Garis $k$ memotong sumbu-$Y$ di titik $a+3, a-7$. Jika garis $k$ juga melalui titik $8,6$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x+y=-10$ B. $2x-y=-10$ C. $2x-y=10$ D. $2x+y=10$ Pembahasan Karena $k$ memotong sumbu-$Y$, maka absis koordinatnya harus bernilai $0$, yaitu $a+3 = 0$ sehingga $a=-3$. Ini berarti, garis $k$ memotong sumbu tersebut di titik $0, -10$. Persamaan garis yang melalui dua titik, yaitu $0,-10$ dan $8,6$ dapat ditentukan dengan sejumlah cara. Cara 1 Manual Dengan menggunakan rumus $\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$, diperoleh $\begin{aligned} \dfrac{y -10} {6-10} & = \dfrac{x -0}{8-0} \\ \dfrac{y+10}{\cancelto{2}{16}} & = \dfrac{x} {\cancel{8}} \\ y+10 & = 2x \\ 2x -y & = 10 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{2x-y=10}$ Cara 2 Kece Perhatikan penggunaan metode skematik berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 17 Perhatikan grafik berikut. Persamaan garis $g$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y-6=0$ B. $3x+2y+6=0$ C. $2x+3y-6=0$ D. $2x+3y+6=0$ Pembahasan Cara 1 Normal Garis $g$ melalui titik $0,3$ dan $2,0$. Persamaan garis yang melalui kedua titik tersebut adalah $\begin{aligned} \dfrac{y -y_1}{y_2 -y_1} & = \dfrac{x -x_1}{x_2 -x_1} \\ \dfrac{y -3}{0 -3} & = \dfrac{x -0}{2 -0} \\ \dfrac{y-3}{-3} & = \dfrac{x}{2} \\ 2y-3 & = -3x \\ 2y -6 & = -3x \\ 3x + 2y -6 & = 0 \end{aligned}$ Cara 2 Kilat Cara ini dipakai apabila titik potong garis terhadap kedua sumbu koordinat diketahui. Perhatikan cara skematik berikut. [collapse] Soal Nomor 18 Grafik garis dengan persamaan $y=\dfrac12x-2$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $y = \dfrac12x -2.$ Titik potong garis terhadap sumbu koordinat harus ditentukan dulu. Titik potong terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0.$ $0 = \dfrac12x -2 \Leftrightarrow 2 = \dfrac12x \Leftrightarrow x = 4.$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $4, 0$. Titik potong terhadap sumbu-$Y$ terjadi saat $x = 0.$ $y = \dfrac120 -2 \Leftrightarrow y = -2$ Jadi, koordinat titik potongnya adalah $0, -2.$ Gambarkan kedua titik tersebut pada sistem koordinat Kartesius, lalu hubungkan kedua titik itu sehingga membentuk garis lurus. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 19 Grafik garis dengan persamaan $4x-y-1=0$ adalah $\cdots \cdot$ Pembahasan Diketahui persamaan garis lurus $4x-y-1 = 0$. Berdasarkan alternatif jawaban yang diberikan, kita harus memeriksa nilai $y$ saat $x$ bernilai $-1, 0$, dan $1$. Untuk $x = -1$, kita peroleh $\begin{aligned} 4-1 -y -1 & = 0 \\ -5 -y & = 0 \\ y & = -5 \end{aligned}$ Garis melalui titik $-1, -5$. Untuk $x = 0$, kita peroleh $\begin{aligned} 40 -y -1 & = 0 \\ -y -1& = 0 \\ y & = -1 \end{aligned}$ Garis melalui titik $0, -1$. Untuk $x = 1$, kita peroleh $\begin{aligned} 41 -y -1 & = 0 \\ 3 -y & = 0 \\ y & = 3 \end{aligned}$ Garis melalui titik $1, 3$. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Grafik garis $k$ tegak lurus dengan garis $m$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $2, 0$. Jika gradien garis $m$ adalah $2$, maka persamaan garis $k$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y-2x=-4$ B. $x+2y=1$ C. $x+2y=2$ D. $2y-x=-2$ Pembahasan Gradien garis $m$ adalah $m_m = 2$. Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_m} = -\dfrac{1}{2}$ Persamaan garis yang melalui titik $2, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -0 & = -\dfrac12x -2 \\ 2y & = -x + 2 \\ x + 2y & = 2 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $k$ adalah $\boxed{x + 2y = 2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui $P-3,-5$ dan $R-2,-8$. Persamaan garis yang melalui $-2,4$ dan tegak lurus garis $PR$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y-x-14=0$ B. $3y-x+14=0$ C. $y-3x+10=0$ D. $y-3x-10=0$ Pembahasan Gradien garis $PR$ di mana $P-3,-5$ dan $R-2,-8$ adalah $m_{PR} = \dfrac{y_2 -y_1}{x_2 -x_1} = \dfrac{-8 -5}{-2 -3} = \dfrac{-3}{1} = -3$ Karena garis yang dimaksud tegak lurus dengan garis $PR$, maka gradien garisnya adalah $m = -\dfrac{1}{m_{PR}} = -\dfrac{1}{-3} = \dfrac13$ Persamaan garis yang melalui titik $-2, 4$ dan bergradien $\dfrac13$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -4 & = \dfrac13x -2 \\ 3y -4 & = x + 2 \\ 3y -12 & = x + 2 \\ 3y -x -14 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garisnya adalah $\boxed{3y-x-14=0}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Perhatikan garis $g$ pada bidang koordinat Kartesius berikut. Garis $k$ tegak lurus garis $g$ dan saling berpotongan di titik $0, -20$. Koordinat titik potong garis $k$ dengan sumbu-$X$ adalah $\cdots \cdot$ A. $8, 0$ C. $16, 0$ B. $12, 0$ D. $20, 0$ Pembahasan Gradien garis $g$ adalah $m_g = \dfrac{-20}{25} = -\dfrac45.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $k$ adalah $m_k = -\dfrac{1}{m_g} = \dfrac54$ Persamaan garis yang melalui titik $0, -20$ dan bergradien $m = \dfrac54$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y -20 & = \dfrac54x -0 \\ 4y + 20 & = 5x \\ 4y + 80 & = 5x \end{aligned}$ Titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ terjadi saat $y = 0$, berarti kita tulis $40 + 80 = 5x \Leftrightarrow x = \dfrac{80}{5} = 16.$ Jadi, titik potong garis $k$ terhadap sumbu-$X$ adalah $\boxed{16, 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persamaan garis $b$ seperti tampak pada gambar adalah $\cdots \cdot$ A. $2y=x-1$ B. $2y=-x-1$ C. $2y=x+1$ D. $2y=-x+1$ Pembahasan Gradien garis $a$ adalah $m_a = \dfrac{-2}{-1} = 2.$ Karena tegak lurus, maka gradien garis $b$ adalah $m_b = -\dfrac{1}{m_a} = -\dfrac{1}{2} = -\dfrac12.$ Perhatikanlah bahwa garis $b$ melalui titik $-1, 0.$ Persamaan garis yang melalui titik $-1, 0$ dan bergradien $m = -\dfrac12$ adalah $\begin{aligned} y -y_1 & = mx -x_1 \\ y – 0 & = -\dfrac12x -1 \\ 2y & = -x – 1 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis $b$ adalah $\boxed{2y = -x-1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui titik $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$ terletak pada satu garis lurus. Nilai $p$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-10$ C. $5$ B. $-5$ D. $10$ Pembahasan Diketahui $A4, 10$, $B-1, p$, dan $C2, 2$. Karena ketiga titik itu terletak pada satu garis lurus, maka gradien $AB$ haruslah sama dengan gradien $BC$. Kita tuliskan $\begin{aligned} m_{AB} & = m_{BC} \\ \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} & = \dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} \\ \dfrac{p-10}{-1-4} & = \dfrac{2-p}{2-1} \\ \dfrac{p-10}{-5} & = \dfrac{2-p}{3} \\ 3p-10 & = -52-p \\ 3p-30 & = -10+5p \\ 3p-5p & = -10+30 \\ -2p & = 20 \\ p & = -10 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{p=-10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 25 Empat di antara lima titik $2, 4$, $4, 7$, $7, 10$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk sebuah garis lurus. Manakah yang tidak termasuk? A. $2, 4$ D. $10, 16$ B. $4, 7$ E. $16, 25$ C. $7, 10$ Pembahasan Agar titik-titik terletak pada satu garis lurus, maka gradien garis yang terbentuk harus sama. Perhatikan bahwa pada titik $2, 4$, $4, 7$, $10, 16$, dan $16, 25$ membentuk garis lurus dengan gradien masing-masing $\dfrac{7-4}{4-2} = \dfrac{16-7}{10-4} = \dfrac{25-16}{16-10} = \dfrac32.$ Perhatikan juga bahwa, $\dfrac{10-7}{7-4} = 1 \neq \dfrac32.$ Jadi, titik yang tidak segaris adalah $\boxed{7, 10}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 26 Jika $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ merupakan persamaan garis lurus yang saling berpotongan tegak lurus, maka akan dipenuhi $\cdots \cdot$ A. $a_1b_1-a_2b_2=0$ B. $a_1a_2-b_1b_2=0$ C. $a_1b_1+a_2b_2=0$ D. $a_1a_2+b_1b_2=0$ E. $a_1b_2+a_2b_1=0$ Pembahasan Persamaan garis $ax + by = c$ memiliki gradien $m = -\dfrac{a}{b}$. Oleh karena persamaan $a_1x+b_1y = c_1$ dan $a_2x + b_2y = c_2$ tegak lurus, maka berlaku $\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ -\dfrac{a_1}{b} & = -\dfrac{1}{-\dfrac{a_2}{b_2}} \\ \dfrac{a_1}{b_1} & = -\dfrac{b_2}{a_2} \\ a_1a_2 & = -b_1b_2 \\ a_1a_2+b_1+b_2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{a_1a_2+b_1+b_2 = 0}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 27 Jika garis yang menghubungkan titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ tegak lurus terhadap garis yang menghubungkan titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$, maka $t = \cdots \cdot$ A. $2$ C. $12\dfrac14$ E. $24\dfrac12$ B. $-\dfrac43$ D. $24$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} x_1, y_1 & = -1, 1 \\ x_2, y_2 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_3, y_3 & = \left1,\dfrac12\right \\ x_4, y_4 & = 7, t \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $-1, 1$ dan $\left1,\dfrac12\right$ adalah $\begin{aligned} m_1 & = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \\ & = \dfrac{\dfrac12-1}{1-1} = \dfrac{-\dfrac12}{2} = -\dfrac14 \end{aligned}$ Gradien garis yang melalui titik $\left1,\dfrac12\right$ dan $7, t$ adalah $\begin{aligned} m_2 & = \dfrac{y_4-y_3}{x_4-x_3} \\ & = \dfrac{t-\dfrac12}{7-1} = \dfrac{t-\dfrac12}{6} \color{red}{\times \dfrac22} = \dfrac{2t-1}{12} \end{aligned}$ Karena kedua garis yang menghubungkan titik-titik tersebut saling tegak lurus, maka berlaku hubungan gradien $m_1 = -\dfrac{1}{m_2}$. Untuk itu, kita peroleh $\begin{aligned} -\dfrac14 & = -\dfrac{1}{\dfrac{2t-1}{12}} \\ \dfrac14 & = \dfrac{12}{2t-1} \\ 2t-1 & = 48 \\ 2t & = 49 \\ t & = \dfrac{49}{2} = 24\dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{t = 24\dfrac12}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 28 Perhatikan grafik tarif taksi berikut. Jika Rudi naik taksi sejauh $19~\text{km}$, berapa harga yang harus ia bayar? A. C. B. D. Pembahasan Berdasarkan grafik di atas, gradien garisnya adalah $m = \dfrac{22 -14}{4 -2} = \dfrac{8}{2} = 4$ Misalkan harga yang harus dibayar untuk jarak tempuh 19 km adalah $x$ ribu rupiah, maka $\begin{aligned} m = \dfrac{x -14}{19 -2} & = 4 \\ \dfrac{x-14}{17} & = 4 \\ x- 14 & = 68 \\ x & = 82 \end{aligned}$ Jadi, harga yang harus dibayar Rudi sebesar Jawaban B [collapse] Soal Nomor 29 Banyak tenaga kerja laki-laki berusia lebih dari $20$ tahun yang bekerja di suatu kota bertambah secara linear. Jika digambarkan, grafik pertambahan tenaga kerja laki-laki dapat direpresentasikan oleh garis lurus berikut. Pada tahun $1980$, sekitar $600$ laki-laki berusia di atas 20 tahun yang bekerja. Pada tahun $2000$, jumlah ini meningkat menjadi $800$. Berapa banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$? A. $ orang C. $ orang B. $ orang D. $950$ orang Pembahasan Gradien garis lurus pada grafik di atas dapat dihitung dengan cara berikut. $m = \dfrac{800-600}{2000-1980} = \dfrac{200}{20} = 10$ Misalkan ada sebanyak $x$ orang pada tahun $2015$ sehingga dengan menggunakan konsep gradien, diperoleh $m = \dfrac{x -800}{2015-2000}$ Karena garis lurus yang ditinjau sama, maka gradiennya juga pasti sama. $\begin{aligned} 10 & = \dfrac{x -800}{15} \\ 150 & = x -800 \\ x & = 950 \end{aligned}$ Jadi, banyak tenaga kerja laki-laki di kota tersebut pada tahun $2015$ adalah $\boxed{950~\text{orang}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Membuat Garis Bergerak Mengikuti Dua Titik pada Aplikasi Geogebra Soal Nomor 30 Pada suatu hari, dua pemuda mengunjungi sebuah kafe. Setelah memesan minuman, mereka masing-masing diberikan kertas yang bertuliskan username dan password untuk mengaktifkan koneksi WiFi kafe tersebut. Salah satu dari mereka menemukan kertas lain seperti itu tercecer di lantai. Ia pun kemudian menjajarkan kertas tersebut seperti berikut. Setelah diperhatikan dengan seksama, mereka menduga bahwa ada hubungan username dengan password di sampingnya. Perhatikan bahwa dua karakter pertama pada username selalu bertuliskan “on“, diikuti dengan bilangan puluhan ganjil. Berdasarkan pola hubungan itu, password yang sesuai untuk username on75 adalah $\cdots \cdot$ A. $682$ C. $702$ B. $692$ D. $712$ Pembahasan Dugaan kita adalah bahwa penambahan bilangan di username memengaruhi penambahan bilangan di bagian password secara linear membentuk garis lurus. Katakanlah terdapat titik $15, 552$ dan $19, 562$. Gradien garis yang ditarik dari dua titik ini adalah $\dfrac{562-552}{19-15} = \dfrac{10}{4} = \dfrac52.$ Sekarang, katakanlah ada titik $43, 622$ dan $19, 562$. Gradien garis yang melalui titik ini adalah $\dfrac{622-562}{43-19} = \dfrac{60}{24} = \dfrac52.$ Karena gradiennya sama, maka pasangan bilangan pada username dan password bergerak secara linear. Dugaan sebelumnya memang benar. Setiap penambahan $2$ pada bilangan di username, bilangan di password bertambah $5$. Password untuk on75 dapat dicari sebagai berikut. Kita simbolkan sebagai $x$ dan kita menggunakan $43, 622$ sebagai titik bantu. $\begin{aligned} \dfrac25 & = \dfrac{x-622}{75-43} \\ \dfrac52 & = \dfrac{x-622}{32} \\ \dfrac{80}{\cancel{32}} & = \dfrac{x-622}{\cancel{32}} \\ 80 & = x-622 \\ x & = 702 \end{aligned}$ Jadi, password untuk username on75 adalah $\boxed{702}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 31 Misalkan $m$ menyatakan bilangan bulat positif serta garis $13x+11y = 700$ dan $y = mx-1$ berpotongan di titik yang koordinatnya bilangan bulat. Banyak kemungkinan nilai $m$ adalah $\cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Substitusi $\color{red}{y} = mx-1$ pada persamaan $13x+11\color{red}{y} = 700$. $\begin{aligned} 13x+11mx-1 & = 700 \\ 13x+11mx-11 & = 700 \\ 13+11mx & = 711 \\ x & = \dfrac{711}{13+11m} \end{aligned}$ Karena $x$ bulat, maka $13+11m$ harus merupakan faktor dari $711$. Perhatikan bahwa $711$ memiliki faktor $\{1, 9, 79, 711\}.$ $\begin{array}{cc} \hline \text{Nilai}~13+11m & \text{Nilai}~m \\ \hline 1 & -\dfrac{12}{11} \\ 9 & -\dfrac{4}{11} \\ 79 & 6 \\ 711 & \dfrac{698}{11} \\ \hline \end{array}$ Dari tabel di atas, tampak bahwa hanya ada $1$ nilai $m$ yang mungkin, yaitu $m = 6$, berakibat $x = 9$ dan $y = 53$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 32 Garis $y = ax + b$ berpotongan secara tegak lurus dengan garis $y = bx + a$ di titik $1, ab$. Nilai $a + b = \cdots \cdot$ A. $-\sqrt5$ C. $\dfrac32$ B. $-1$ D. $2$ Pembahasan Tuliskan dulu gradien masing-masing garis. $$\begin{aligned} y = ax + b & \Rightarrow m_1 = a \\ y = bx+a & \Rightarrow m_2 = b \end{aligned}$$Karena kedua garis berpotongan tegak lurus, maka berlaku $$\begin{aligned} m_1 & = -\dfrac{1}{m_2} \\ a & = -\dfrac{1}{b} \\ ab & = -1 \end{aligned}$$Karena berpotongannya di $1, ab$, maka substitusi $x = 1$ dan $y = ab$ pada salah satu persamaan garis, misalnya $y = ax + b$, menghasilkan $$\begin{aligned} ab & = a1 + b \\ ab & = a + b \\ -1 & = a + b \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a+b=-1}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Titik Tengah Ruas Garis dan Jarak Dua Titik Bagian Uraian Soal Nomor 1 Periksa apakah titik berikut berada di atas, di bawah, atau terletak tepat pada garis yang diberikan. Titik $2, -1$ dan titik $3, 9$ terhadap garis $2x + y = 4$. Titik $3, -5$ dan titik $1, 6$ terhadap garis $y = 2x-4$. Titik $0, 0$ dan titik $2, 2$ terhadap garis $-9x+2y=18$. Pembahasan Sebelum mengerjakan, kita perlu memperhatikan definisi pengertian mengenai posisi titik terhadap garis berikut. Suatu titik dikatakan berada di posisi bawah suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih kecil dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada di posisi atas suatu garis apabila nilai ordinat titik itu lebih besar dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Suatu titik dikatakan berada tepat pada suatu garis apabila nilai ordinat titik itu sama dengan dari nilai ordinat titik yang dilalui garis tersebut pada absis yang sama. Jawaban a Titik $2, -1$ memiliki nilai ordinat $y = -1$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $2x + y = 4$ untuk memperoleh $\begin{aligned} 2\color{red}{2} + y & = 4 \\ 4 + y & = 4 \\ y & = 0 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-1 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $3, 9$ di atas garis $2x + y = 4$. Jawaban b Titik $3, -5$ memiliki nilai ordinat $y = -5$. Substitusi $x = 3$ pada persamaan $y=2x-4$ untuk memperoleh $y = 2\color{red}{3}-4 = 6-4=2$. Karena nilai ordinat titik lebih kecil $-5 -2$, maka disimpulkan bahwa titik $1, 6$ di atas garis $y = 2x-4$. Jawaban c Titik $0, 0$ memiliki nilai ordinat $y = 0$. Substitusi $x = 0$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{0} + 2y & = 18 \\ 0 + 2y & = 18 \\ y & = 9 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $0 < 9$, maka disimpulkan bahwa titik $0, 0$ di bawah garis $-9x+2y=18$. Titik $2, 2$ memiliki nilai ordinat $y = 2$. Substitusi $x = 2$ pada persamaan $-9x+2y=18$ untuk memperoleh $\begin{aligned} -9\color{red}{2} + 2y & = 18 \\ -18 + 2y & = 18 \\ 2y & = 36 \\ y & = 18 \end{aligned}$ Karena nilai ordinat titik lebih kecil $2 < 18$, maka disimpulkan bahwa titik $2,2$ di bawah garis $-9x+2y=18$. [collapse] Soal Nomor 2 Absis titik potong garis $g$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong garis $g$ dengan sumbu-$Y$ merupakan bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Jika garis $g$ melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $g$ tersebut. Pembahasan Misalkan titik potong garis $g$ terhadap kedua sumbu koordinat adalah $p, 0$ dan $0, q$ dengan $p, q$ bilangan genap positif yang kurang dari $10$. Garis $g$ diketahui melalui titik $3, 4$. Berdasarkan prinsip kesamaan gradien dalam satu garis lurus, kita peroleh $\begin{aligned} \dfrac{q-4}{0-3} & = \dfrac{0-4}{p-3} \\ \dfrac{q-4}{-3} & = \dfrac{-4}{p-3} \\ q-4p-3 & = 12 \end{aligned}$ Selanjutnya kita harus mencari kombinasi dua faktor yang mungkin untuk menghasilkan $12$. Faktor dari $12$ adalah $1, 2, 3, 4, 6$, dan $12$. Periksa setiap kemungkinan yang ada menggunakan tabel berikut dengan mengingat syarat $a, b$ harus genap dan nilainya kurang dari $10$. $$\begin{array}{ccccc} \hline q-4 & p-3 & q & p & \text{Keterangan} \\ \hline 1 & 12 & 5 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 2 & 6 & 6 & 9 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 3 & 4 & 7 & 7 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 4 & 3 & 8 & 6 & \text{Memenuhi} \\ 6 & 2 & 10 & 5 & \text{Tidak Memenuhi} \\ 12 & 1 & 16 & 4 & \text{Tidak Memenuhi} \\ \hline \end{array}$$Jadi, nilai $p = 6$ dan $q = 8$. Persamaan garis lurus yang melalui titik $6, 0$ dan $0, 8$ adalah $8x + 6y = 8 \cdot 6$, dan disederhanakan menjadi $4x + 3y = 24$. Grafiknya dapat dilihat pada gambar berikut. Jadi, persamaan garis $g$ adalah $\boxed{4x+3y=24}$ [collapse] Soal Nomor 3 Absis titik potong garis $\ell$ dengan sumbu-$X$ dan ordinat titik potong $\ell$ dengan sumbu-$Y$ adalah bilangan-bilangan prima. Jika $\ell$ juga melalui titik $3, 4$, tentukan persamaan garis $\ell$. Pembahasan Perhatikan sketsa grafik garis $\ell$ berikut. Dimisalkan bahwa garis $\ell$ memotong sumbu-$X$ di $a, 0$ dan sumbu-$Y$ di $0, b$. Persamaan garis $\ell$ adalah $bx + ay = ab.$ Karena garis $\ell$ melalui titik $3, 4$, maka dapat disubstitusi $x = 3$ dan $y = 4$ sehingga diperoleh $\begin{aligned} 3b+4a & = ab \\ ab-4a & = 3b \\ ab-4 & = 3b \\ a & = \dfrac{3b}{b-4} \\ a & = \dfrac{3b-4+12}{b-4} \\ a & = 3+\dfrac{12}{b-4} \end{aligned}$ Karena $a$ prima dan berarti juga bulat, maka $b-4$ harus merupakan faktor $12$, yaitu $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Analisis nilai $a$ dan $b$ yang keduanya harus prima dalam tabel berikut. $\begin{array}{ccc} \hline \text{Nilai}~b-4 & \text{Nilai}~b & \text{Nilai}~a \\ \hline 1 & 5 & \color{red}{15} \\ \hline 2 & \color{red}{6} & 5 \\ \hline 3 & 7 & 7 \\ \hline 4 & \color{red}{8} & \color{red}{6} \\ \hline 6 & \color{red}{10} & 5 \\ \hline 12 & \color{red}{16} & \color{red}{4} \\ \hline \end{array}$ Keterangan Bilangan yang diwarnai merah artinya bukan prima. Jadi, dipilih nilai $b = 7$, berakibat $a = 7$ keduanya prima sehingga persamaan garis $\ell$ adalah $7x + 7y = 49$, disederhanakan menjadi $\boxed{x + y = 7}$ [collapse] Soal Nomor 4 Sebuah garis melalui titik $A1, 1$ dan $B100, 1000$. Berapa banyak titik-titik lain dengan elemen koordinat berupa bilangan bulat yang dilalui garis itu dan berada di antara kedua titik tersebut? Pembahasan Garis melalui $A1,1$ dan $B100, 1000$. Gradien garis tersebut adalah $$m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{1000-1}{100-1} = \dfrac{999}{99} = \dfrac{111}{11}$$Persamaan garisnya adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-1 & = \dfrac{111}{11}x-1 \end{aligned}$$Agar diperoleh bilangan bulat $y$, maka $11$ harus membagi habis $x-1$. Untuk suatu bilangan bulat $t$, maka kita tulis $$\begin{aligned} x-1 & = 11t \\ x & = 11t+1 \\ \Rightarrow y-1 & = \dfrac{111}{11}11t \\ y & = 111t+1 \end{aligned}$$Karena koordinat yang diiinginkan berada di antara titik $A1,1$ dan $B100,1000$, maka nyatakan dalam bentuk pertidaksamaan berikut. $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & x & < & 100 \\ 1 & < & 11t+1 & < & 100 \\ 0 & < & 11t & < & 99 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$dan $$\begin{array}{rcccl} 1 & ~ & y & < & \\ 1 & < & 111t+1 & < & \\ 0 & < & 111t & < & 999 \\ 0 & < & t & < & 9 \\ 1 & \le & t & \le & 8 \end{array}$$Untuk kedua kasus tersebut, ditemukan $8$ nilai bilangan bulat $t$, yaitu $\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$. Jadi, akan ada $\boxed{8}$ titik dengan koordinat bulat di antara $A$ dan $B$ yang dilalui garis itu. [collapse]JarakKota Slawi dengan Desa Bojong adalah $12$ km seperti tampak pada gambar berikut. (Keterangan: $\sin 12^\circ = 0,20;$ $\cos 12^\circ = 0,97;$ $\tan 12^\circ = 0,21$) Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Juli 9, 2022; Catatan Lengkap Materi Matematika, Fisika, Kimia, dan Biologi (Tingkat SMP dan SMA) Juli
1. Definisi Isometri Dalam Geometri Transformasi dikenal beberapa transformasi diantaranya Pergeseran, Rotasi, dan Pencerminan. Pada tiga transformasi ini, ukuran dan bentuk bangun yang telah mengalami transformasi tidak berubah. Hal ini menghasilkan istilah baru bahwa ketiga transformasi itu disebut transformasi yang isometri, suatu istilah yang berasal dari bahasa Yunani yang berarti ”sama luas”. Definisi Misalkan T suatu transformasi , transformasi T ini disebut isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclides V berlaku dimana dan . Untuk memahami definisi di atas perhatikan contoh berikut Misalkan garis pada bidang dan transformasi ditetapkan sebagai berikut i. Jika maka ii. Jika maka Apakah transformasi T ini merupakan suatu isometri? Penyelesaian Ambil dua titik sembarang dan anggota misalkan dan , sehingga diperoleh a. g sumbu dari , misalkan , maka b. g sumbu dari , misalkan , maka Perhatikan gambar berikut ini Kemudian pandang dengan . Karena , siku-siku, dan , maka =. Akibatnya a. b. Sekarang pandang dengan . Karena, , dan , maka =. Akibatnya Karena dan di ambil sembarang titik pada dapat di simpulkan bahwa untuk setiap pasangan titik dan pada ,diperoleh sehingga transformasi yang ditetapkan di atas adalah suatu isometri. Contoh lain Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun suatu bidang datar dan pemetaan didefinisikan untuk suatu titik oleh . Maka dapat ditunjukan bahwa suatu transformasi menunjukan suatu isometri, ambil sepasang titik dan bayangan masing-masing dan kemudian buktinya bahwa Dengan rumus jarak diperoleh Karena itu, adalah isometri. 2. Sifat-sifat Isometri Suatu pencerminan atau refleksi pada sebuah garis adalah suatu transformasi yang mengawetkan jarak atau juga dinamakan suatu isometri. Selain mengawetkan jarak antara dua titik, suatu isometri memiliki sifat-sifat seperti yang tertuang dalam teorema berikut. Teorema 1 Setiap Isometri bersifat a. memetakan garis menjadi garis b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis c. mengawetkan kesejajaran dua garis Bukti a. memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan T suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwa adalah suatu garis juga. Ambil dan . Maka, , melalui dan ada satu garis misalnya . Akan kita buktikan , untuk itu akan dibuktikan dan . i. Bukti Ambil . Oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides. Kita andaikan artinya, . Oleh karena suatu isometri, jadi T suatu transformasi maka ada sehingga dan oleh karena suatu isometri maka begitu pula . Jadi pula . Ini berarti bahwa segaris pada dan . Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi dengan atau . ii. Bukti Ambil lagi . Maka ada sehingga dengan misalnya ., artinya dan . Oleh karena sebuah isometri maka , , . Sehingga . Ini berarti bahwa segaris, yaitu melalui dan . Oleh karena satu-satunya garis yang melalui dan maka . Jadi haruslah . Bukti serupa berlaku untuk keadaan atau Sehingga . Jadi jika sebuah garis maka adalah sebuah garis. b. mengawetkan besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah . Andaikan , , . Menurut sifat a, maka dan adalah garis lurus. Oleh karena maka sedangkan , , . Sehingga . Jadi . Sehingga suatu isometri mengawetkan besarnya sebuah sudut. c. mengawetkan kesejajaran dua garis Kita harus memperlihatkan bahwa // . Andaikan memotong di sebuah titik , jadi dan . Oleh karena sebuah transformasi maka ada sehingga dengan dan . Ini berarti bahwa memotong di , jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa //.Maka pengandaian bahwa memotong salah. Jadi haruslah // . Sehingga suatu isometri mengawetkan kesejajaran dua garis. Akibat Salah satu akibat dari sifat b teorema 1 ialah bahwa jika dua buah garis misalkan a dan b dimana maka dengan sebuah isometri. Bukti Dipunyai akan ditunjukkan . Andaikan Ta tidak tegak lurus dengan Tb maka terapat sudut antara Ta dengan Tb yang tidak sama dengan 90o. Karena isometri mengawetkan besarnya sudut antara dua garis maka sudut yang dibentuk oleh a dan b tidak sama dengan 90o. Hal ini kontradiksi dengan . Jadi pengandaian harus dibatalkan. Artinya . Jadi apabila maka dengan T sebuah isometri. Teorema 2 Komposisi dua buah isometri adalah isometri Bukti Ambil dua isometri, namakan dengan dan , terjadilah komposisi dari dan . Yaitu dan . Dalam uraian ini akan ditunjukkan salah satu saja . Ambil dua titik sembarang , misalkan , dan , , berdasarkan pemisalan ini dapat dicari Karena isometri maka dan karena isometri pula . Karena dan , maka . Jadi suatu isometri. Soal Latihan 1. Diketahui garis-garis s, t, u dan titik A,B seperti dapat dilihat pada gambar di bawah ini. adalah sebuah isometri dengan dan . Jika lukislah ! 2. Diketahui garis dan . Tulislah sebuah persamaan garis ! 3. Diketahui lima garis g, g’, h, h’, dan k sehingga dan . Apabila buktikan ! 4. Diketahui garis-garis g,h, dan h’ sehingga apakah ungkapan di bawah ini benar? a. Jika maka . b. Jika maka . c. Jika , maka . 5. Jika dan , selidikilah apakah terletak pada garis . Pembahasan 1. , . Karena maka dan T isometri, maka atau . Gambar 2. Diketahui garis dan Gambar Karena sebuah refleksi pada , maka merupakan isometri. Jadi, menurut teorema ”sebuah isometri memetakan garis menjadi garis”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis dan sumbu . Titik merupakan titik potong antara garis dan . Jadi dan . Karena maka Jadi akan melalui titik , dan akan melalui § Koordinat titik g x + 2y = 1 x + 2y – 1 = 0, h x = -1 substitusikan x = -1 ke persamaan garis g x + 2y = 1, diperoleh -1 + 2y – 1 = 0 2y = 2 y = 1 Jadi § Koordinat titik Titik adalah titik potong dengan sumbu . Karena isometri maka Jadi, Misal titik Absis titik adalah Diperoleh dan Jadi, Jadi, g’ melalui titik C-1,1 dan Persamaan garis g’ Jadi, 3. Diketahui Andaikan g tidak sejajar h, maka menurut teorema, bahwa isometri mengawetkan kesejajaran 2 garis, diperoleh tidak sejajar dengan . Padahal diketahui bahwa , maka pengandaian harus dibatalkan, artinya . 4. Diketahui garis-garis , , dan sehingga a. Jika maka . Jadi benar jika maka . b. Jika maka . Jadi benar jika maka . c. Jika , maka . Jadi benar jika , maka . 5. Jika g = {x,y y = -x} dan h = {x,y 3y = x + 3} Gambar Karena sebuah refleksi pada maka merupakan isometri. Menurut teorema, “ Sebuah isometri memetakan garis menjadi garis ”, dan , maka adalah sebuah garis. Titik merupakan titik potong antara garis g dan h. Jadi, dan . Karena maka Jadi h’ akan melalui titik Ambil titik A0,1 dan B-3,0 karena maka dan . Jadi melalui dan . Dimana pencerminan pada garis berlaku misalkan maka bayangannya . Sehingga dan . Persamaan garis h’ Jadi persamaan garis Isometri Langsung Dan Isometri Lawan Untuk lebih memahami isometri langsung dan isometri lawan terlebih dahulu kita bahas fenomena isometri yang diperlihatkan pada gambar berikut . Pada gambar 1 tampak bahwa apabila pada segitiga ABC yang dicerminkan pada garis g dimana, urutan kelilingnya A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam menghasilkan peta yaitu segitiga yang urutan kelilingnya →→ adalah sesuai dengan jarum jam. Pada gambar 2 dapat dilihat lihat sebagai isometri yaitu suatu rotasi putaran segitiga ABC yang mengelilingi titik O. Dimana, pada segitiga ABC urutan keliling adalah A→B→C adalah berlawanan dengan putaran jarum jam dirotasikan mengelilingi titik O yang menghasilkan peta yaitu segitiga dengan urutan keliling →→ adalah tetap berlawanan dengan putaran jarum jam. Untuk membahas lebih lanjut fenomena isometri di atas, kita gunakan konsep tiga titik yang tak segaris. Andaikan P1,P2,P3 tiga titik yang tak segaris maka melalui P1,P2 dan P3 ada tepat satu lingkaran l, kita dapat mengelilingi l berawal misalnya dari P1 kemudian sampai di P2 , P3 dan akhirnya kembali ke P1. Apabila arah keliling ini sesuai dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang sesuai dengan putaran jarum jam orientasi yang negatif, apabila arah keliling itu berlawanan dengan putaran jarum jam maka dikatakan bahwa tiga titik P1,P2,P3 memiliki orientasi yang berlawanan denga putaran jarum jam orientasi yang positif, jadi pada gambar 1, A,B,C memiliki orientasi positif sedangkan A1,B1,C1memiliki orientasi yang negatif, pada gambar 2 orientasi A,B,C adalah positif dan orientasi A2,B2,C2 tetap positif, jadi pencerminan pada gambar 1 mengubah orientasi sedangkan putaran pada gambar 2 mengawetkan orientasi. Definisi 1. Suatu transformasi T mengawetkan suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik tak segaris ,, orientasinya sama dengan ,, dengan = T , = T , = T. 2. Suatu transformasi T membalik suatu orientasi apabila untuk setiap tiga titik yang tak segaris ,, orientasinya tidak sama dengan orientasi peta-petanya ,, dengan , , . Definisi Suatu transformasi dinamakan langsung apabila trasformasi tersebut mengawetkan orientasi, suatu transformasi disebut transformasi lawan apabila transformasi tersebut mengubah orientasi. Salah satu sifat penting dalam geometri transformasi adalah Teorema 3 Setiap refleksi pada garis adalah isometri lawan. Teorema 4 tanpa bukti, tidak setiap isometri adalah isometri lawan. Hal ini dapat dilihat pada gambar 2, dimana isometri yaitu rotasi pada titik O adalah sebuah isometri langsung. Oleh karena itu dapat kita kemukakan teorema berikut, tanpa bukti yaitu Teorema 4 Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri lawan. Soal Latihan 1. Pada gambar berikut, terdapat tiga titik tak segaris yaitu , , , dan adalah isometri-isometri dengan , , sedangkan , , . Termasuk golongan manakah dan itu ? 2. Isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri lawan tentukan titik ! 3. Sebuah isometri memetakan pada , pada dan pada , apabila sebuah isometri langsung tentukan . 4. Diketahui garis-garis dan dan titik-titik dan . Diketahui pula bahwa , , , dan . a. Lukislah dan ! b. Bandingkan jarak dan . Pembahasan 1. Gambar Dari gambar di atas dapat diketahui bahwa merupakan isometri lawan karena mengubah orientasi , , dan . merupakan isometri langsung karena mengawetkan orientasi , , dan . 2. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 3. Karena sebuah isometri lawan maka mengubah orientasi , , dan sehingga dipetakan sesuai dengan gambar berikut 4. a. Gambar b. Karena isometri mengawetkan jarak Maka jarak dengan = jarak dengan Jarak dengan = jarak dengan Jadi jarak = jarak Karena jarak = jarak dan jarak = jarak , maka jarak = jarak . Tanggaseperti tampak pada kedua gambar di atas merupakan contoh penerapan garis lurus dalam kehidupan sehari-hari. Agar tangga aman, nyaman, dan tidak berbahaya jika dinaiki maka harus Kemiringan garis dengan persamaan 3 T− U−4=0 adalah a. −4 b. −3 c. 3 d. 4 4. Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPersamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah .... A. 2y = x - 1 B. 2y = -x - 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1 2 a bBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoJika kita mendapatkan salah satu ini maka kita lihat untuk garis a garis a melalui titik yaitu 1,0 dan 0,2 dapat kita cari nilai gradien nya nilai gradien untuk a adalah Y 2 dikurangi y 1 per x 2 dikurang x 1 di sini dapat kita masukkan angkanya yaitu yaitu adalah 2 kurang 0 per 0 dikurang min 1 hasilnya adalah 2 dibagi 1 yaitu 2 kita lihat disini garis a garis a = tegak lurus dengan garis b. Maka disini untuk mencari nilaigradien b adalah nilai gradien a dikali nilai gradien B = min 1 jadi di sini dapat kita masukkan angkanya gradien adalah 2 kali gradien B min 1 Radian b adalah min 1 per 2 Halo di sini ditanyakan persamaan garis B di sini dapat kita menggunakan rumus yaitu y Min y 1 = m dalam kurung X min x 1 di sini kita lihat garis B melalui titik yaitu 1,0 maka di sini dapat kita masukkan angkanya sini y dikurang 0 = m yaitu min 1 per 2 dikalikan dengan x min 1 Nah di sini dapat kita jumlahkan yaitu disini y min 1 per 2 x ditambah dengan disini X min x menjadi + dan dikali dengan setengah jadi min 1 Tengah Halo di sini dapat kita * 2 ini di sini 2 y = min x min 1 jadi jawabannya adalah B sampai jumpa di Solo berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul . 442 4 371 257 362 420 182 302persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah
